\[ \left. \begin{array} { l } { \text { 18. If } u = \operatorname { log } ( x ^ { 3 } + y ^ { 3 } + z ^ { 3 } – 3 x y z ) } \\ { ( \frac { \partial } { \partial x } + \frac { \partial } { \partial y } + \frac { \partial } { \partial z } ) ^ { 2 } u = – \frac { 9 } { ( x + y + z ) ^ { 2 } } } \\ { u = \operatorname { log } ( x ^ { 3 } + y ^ { 3 } + z ^ { 3 } – 3 x y z ) } \end{array} \right. \]

\[ \left. \begin{array} { l } { u = \operatorname { log } ( x ^ { 3 } + y ^ { 3 } + z ^ { 3 } – 3 x y z ) } \\ { \text { (1) partially w.r.t. } x \text { ‘, we get } } \\ { \qquad \left. \begin{array} { l } { \frac { \partial u } { \partial x } = \frac { 3 x ^ { 2 } – 3 y z } { x ^ { 3 } + y ^ { 3 } + z ^ { 3 } – 3 x y z } } \\ { \frac { \partial u } { \partial y } = \frac { 3 y ^ { 2 } – 3 z x } { x ^ { 3 } + y ^ { 3 } + z ^ { 3 } – 3 x y z } } \\ { \partial u } & { 3 z ^ { 2 } – 3 x y } \end{array} \right. } \end{array} \right. \]

\[ \left. \begin{array} { l } { \text { 2), (3) and (4), we get } } \\ { \left. \begin{array}{l}{ \frac { \partial u } { \partial x } + \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial u } { \partial z } = \frac { 3 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } – x y – y z – z x ) } { x ^ { 3 } + y ^ { 3 } + z ^ { 3 } – 3 x y z } }\\{ = \frac { 3 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } – x y – y z – z x ) } { ( x + y + z ) ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } – x y – y z – z x ) } = \frac { 3 } { x + y + z } }\\{ \frac { \partial } { \partial x } + \frac { \partial } { \partial y } + \frac { \partial } { \partial z } ) u = \frac { 3 } { x + y + z } }\\{ – \frac { \partial } { \partial y } + \frac { \partial } { \partial z } ) ^ { 2 } u = ( \frac { \partial } { \partial x } + \frac { \partial } { \partial y } + \frac { \partial } { \partial z } ) \frac { 3 } { x + y + z } }\\{ = \frac { \partial } { \partial x } \frac { 3 } { x + y + z } + \frac { \partial } { \partial y } \frac { 3 } { x + y + z } + \frac { \partial } { \partial z } \frac { 3 } { x + y + z } }\\{ = – 3 ( x + y + z ) ^ { – 2 } – 3 ( x + y + z ) ^ { – 2 } – 3 ( x + y + z ) ^ { – 2 } }\\{ = – \frac { 9 } { ( x + y + z ) ^ { 2 } } \quad \text { Proved. } }\end{array} \right. } \end{array} \right. \]

 

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